Probabilité : Notion d'arrangement et de combinaison ( Partie 2 )

1- Notion d’arrangement :

Notant tout d’abord qu’il n’ya pas de différence significative entre une permutation et un arrangement .Dans le 2éme cas on s’intéresse souvent à une partie de l’ensemble E.

           a- Arrangement sans répétition :

Considérant toujours l’ensemble E qui contient n élément .On s’intéresse ici à un sous ensemble de l’ensemble E . Un arrangement sans répétition de k élément (k ≤n) est une disposition ordonnée et sans répétition  de ces k élément choisi parmi les n éléments.

Conséquences :

Le nombre d’arrangement sans répétition que l’on peut donc formé dans ces conditions est  A^k_n =n (n-1)(n-2)……….(n-k+1)

En effet le 1ere élément de la disposition ordonnée à n possibilités d’être choisi, le 2eme) n-1 possibilités, jusqu'à choisir k élément d’où la formule précédente.

Exemple 1  :

Afin de choisir son bureau syndicale ; les 20 employés d’une entreprise sont amenés à choisir 5 représentants .On suppose que les responsabilités ne sont pas cumulatives .De combien de façon on peut former ce bureau ?

Exemple 2 :

Afin d’accéder à un ensemble d’information contenu dans une base de donnée, on doit utilisé un mot de passe composé de 3 lettres .Combien de mots de passe nous risquons de taper ?

On suppose que les lettres de mot de passe sont différentes.

Solution :

1- 20X19X18X17X16= 1860480

2- 26X25X24= 15600

                b- Arrangement avec répétition :

Reprenant les mêmes données que dans le cas précédent ;un arrangement avec répétition de k élément choisi les n éléments ( k peut être supérieure à n )n, une disposition ordonné est éventuellement avec répétition  de ces éléments .On peut démontrer que le nombre d’arrangement avec répétition dans ce cas est A^k_n=n^k

Exemple :

Considèrent les chiffres 1, 2, 5, et 8

1-Combien de nombre de 5 chiffre on peut constituer ?

2- Combien de nombre de moins de 6 chiffres on peut former ?

Solution :

1-      4⁵= 1024

2-      4⁶+4⁵+4⁴+4³+4²+4¹

2- Notion de combinaison :

Si dans le cas de l’arrangement les dispositions tiens compte du faite que l’ordre des éléments peut changer, la disposition dans le cas de la combinaison l’ordre ne peut pas changer les dispositions

                a- Combinaison sans répétitions :

Soit E contenant n élément discernable et le , entière inférieur ou égale à n On appelé combinaison sans répétitions de ces éléments choisi parmi les n , une disposition non ordonné dans laquelle chaque élément apparait une seule fois .Il s’agit tout simplement d’un sous ensemble de l’ensemble E .

                         n !                                                     A^k_n

C^k_n  = _______________________      =  _{______________________________}    

                  K ! (n-k) !                                                    k!

Quelques propriétés :

On a toujours les résultats suivants :

• C⁰_n = 1
• 0 !=1

                               n !

• C¹_n= n = _________

                  1 !(n-1)

• C^k_n   =C  _n^n-k
• C^k_n  = C ^k_n-1 +C^k-1_n-1

Exemple :

On souhaite choisir 4 représentants d’une association de 30 adhérents .De combien de manière on peut effectuer ce choix ?

Solution :

                   30 !

C⁴₃₀ = __________________= 27405

                   4 !26 !

                   b- Combinaison avec répétitions :

Considérant les mêmes donnés et dans le cas précédent, mais k peut être supérieure à

n ----- k ≥n .On appelé combinaison avec répétition de ces cas éléments, une disposition non ordonné mais éventuellement répétitions de ces cas éléments

K ^k_n= C^k_n+k-1

Exemple :

 Dans un ensemble de personne a, b, c, d de combien de manière peut on choisir 2 personnes on effectuer 2 taches si on plus une personne peut  les effectuer toutes .Précises toute ces disposition .

Solution :

{A, B, C, D}---------AA, AB, AC, AD, BB, BC, BD, CC, CD

K²₄= C²₄₊₂₊₁ = 10