Probabilité : L’analyse combinatoire et le dénombrement ( Partie 1 )

1- Notion de disposition :

Il s’agit à travers l’analyse combinatoire de dénombrer avec  l’exactitude les différents disposition que l’on puisse former à partir d’un ensemble d’éléments . Aucune disposition ne doit être promise ou compté plusieurs fois .

On distingue par ailleurs les dispositions ordonnés et les dispositions non ordonnés

Soit  a,b,c  trois  éléments d’un ensemble . Si l’on dois tenir compte de l’ordre alors les dispositions  (a,b,c) (a,c,b) (b,a,c) (c,b,a) sont différents .

2- Le principe multiplicatif :

Considérant deux étapes successives d’une même expérience . Si la première donne lieu à n résultats suivant de la 2ème expérience qui a m résultats .alors le nombre des résultats possible de l’expérience est de : n.m

Exemple : 

On jette un dé deux fois successives , le nombre de résultat de cette épreuve :

1,2,3,4,5,6

1,2,3,4,5,6

36 = 6²

Chaque résultat  du 1èr jet ( en nombre 6 à est suivi par 6 autres résultats du 2éme jet) . Ce principe peut être généralisé au cas ou l’épreuve est exécuté en cas étape.

Soit une expérience qui consiste à répéter n fois et de manière indépendante cette mémé expérience  et si à chaque cas , o, a alors l’expérience toute entière aura n^m 

3- Notion de permutation :

Il ya deux formes de permutation : les permutations où les éléments ne se répètent pas dans la même disposition et les permutations où les éléments peuvent apparaitre plusieurs fois . Il est important de remarquer les éléments de la disposition sont discernable ou non.

• Permutation sans répétition :

soit un ensemble E contenant n élément discernables. Une permutation sans répétition de ces n éléments apparait une seule fois . c’est une manière de ranger côte a côte ces éléments .

Résultat important :

Le nombre  de permutation sans répétition que l’on peut former dans ce ca est factoriel n (n !):

n ! = n(n-1)(n-2)……x2x1

Le 1ér élément peut prendre une des n places de la disposition , Il y aura donc n-1 place pour la 2ème éléments ainsi de suite.

Exemple 1 : 

De combien de manière on peut permettre les chiffres de l’ensemble  E [1,2,3,4,5 ]

Exemple  2 : 

De combien de façon on peut classer 8 candidats à un concours

Solution :

• 5 ! = 120
• Pour les 8 candidats : 8 ! = 40320

Permutation avec  répétition :

Sot E un ensemble contenant discernable . Une permutation avec répétition de ces n élément est une disposition ordonné mais essentiellement avec répétition des n éléments ou chacun apparait autant de fois que la permutation le permettre.

Si alors la disposition doit contenir n élément alors le nombre de permutation avec répétition sera dans le cas  extrême. Le nombre sera n^m  .

Considération un ensemble E contenant n élément discernable formé deux groupe dans les éléments à l’intérieur de chaque groupe sont indiscernable.

Une permutation avec répétition de ces n élément est une disposition ordonné de ces éléments de tél sorte que e1 apparait ____ figure n fois et e2 figure e2 figure n 2 fois . Dans ces conditions , le nombre de permutation avec répétition que l’on peut obtenir est définit par l’expression suivante :

  

n !  P=_____________         n1 ! n2 !…..np !

Exemple :

Combien de mots différents peut importe le sens (si le mot à un sens linguistique ou non ) peut on formé avec les lettres du mot erreur :

Solution :

Ce nombre est :

                6 !

 P= _____________

             3! 2! 1!