Mathématiques financières : Les intérêts composés

1- Caractéristiques :

Ce système de calcul s’applique aux opérations financières à long. terme c’est-à-dire d’une durée de plus d’un an .

Dans ce cas, les intérêts produits par une année de placement seront ajoutés au capital initial de l’année suivante ; et produiront à leur tour des intérêts .On parle alors de : capitalisation d’intérêts .

2- Valeur acquise :

Soit un capital « C » placé à intérêts composés pendant « n » années  à un taux annuel « t% ».On note «  i =t/100 » ; donc « i » est le taux appliqué .

Le principe de calcul veut que les conditions suivantes soient respectées :

• La valeur acquise en fin d’année est égale au capital placé au début de l’année suivante
• L’intérêt annuel=(capital placé au début de l’année)x(taux d’intérêt annuel ).
• La valeur acquise en fin d’année est la somme du capital placé au début de l’année et du montant de l’intérêt annuel .

Ainsi le tableau suivant résume le processus de placement d’un capital C pendant n années à intérêt composés : 

Année	Capital au début de l’année	Montant de l’intérêt annuel	Capital en fin d’année : Valeur acquise
1	C	Ci	C+ci=c(1+i)
2	C(1+i)	C(1+i). i	C(1+i)+c(1+i).i=c(1+i) 2
3	C(1+i) 2	C(1+i) 2. i	C(1+i) 2+c(1+i) 2.i=c(1+i) 3
. . . .	. . . .	. . . .	. . . .
n	C(1+i ) n-1	C(1+I) n-1. i	C(1+I) n-1+c(1+i) n-1. i =c(1+i) n

Constatation :

• La valeur acquise par un capital c après, périodes de placement est noté Cn avec Cn=C(1+i) ⁿ .
• Les valeurs acquises et les montants d’intérêts sont en progression géométrique de raison (1+i).

3- La valeur de l’intérêt :

La valeur acquise à la fin de l’année n représente toujours la somme du capital placé au départ et des intérêts générés au cours de n périodes de placement .

Soit « I » l’intérêt généré pendant toute la période de placement :

On a Cn= C(1+i) ⁿ et Cn = C+I

I= Cn-C= C(1+i) ⁿ-C

I=C( (1+i)ⁿ-1)

4- Valeur actuelle :

L’actualisation des valeurs nous permet de savoir dans des conditions prédéterminées combien vaut aujourd’hui la somme que nous percevrons à la fin d’une certaine période .

Cn=C(1+i)ⁿ______C=Cn/(1+i)ⁿ______C=Cn(1+i)^{- n}

“C” est donc le capital qu’il faudra placer aujourd’hui pour obtenir Cn après nn période .